题目内容
11．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=$\frac{x}{e^x}$的值域为$（0，\frac{1}{e}]$．分析 求出原函数的导函数，得到函数在（0，+∞）上的单调性，由此求得函数的值域．
解答 解：由f（x）=$\frac{x}{e^x}$，得f′（x）=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
则f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=$\frac{1}{e}$，
又当x→0时f（x）→0，当x→+∞时，f（x）→0，
∴函数f（x）=$\frac{x}{e^x}$的值域为$（0，\frac{1}{e}]$．
故答案为：$（0，\frac{1}{e}]$．
点评 本题考查函数值域的求法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
练习册系列答案
寒假创新型自主学习第三学期寒假衔接系列答案
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| A． | 16 | B． | 17 | C． | 18 | D． | 16或17 |
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| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 1 | 3 | 5 | 7 |
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