Question

6．设命题p：曲线y=x²+2x+2t-4与x轴没有交点；命题q：方程$\frac{x^2}{4-t}$+$\frac{y^2}{t-2}$=1所表示的曲线是焦点在x轴的椭圆．
（1）若命题p为真命题，求实数t的取值范围；
（2）如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质，得到关于t的不等式，解出即可；
（2）求出q为真时t的范围，根据“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，得到p，q一真一假，从而求出t的范围即可．

解答 解：（1）若p为真命题，
则△=2²-4（2t-4）＜0，…（2分），
解得$t＞\frac{5}{2}$；…（4分）
（2）若命题q：方程$\frac{x^2}{4-t}+\frac{y^2}{t-2}=1$所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆为真，
则有4-t＞t-2＞0，…（6分）
解得2＜t＜3．…（8分）
又由题意“p∨q”为真，“p∧q”为假，知命题p与q有且只有一个是正确的，…（10分）
故有：①若p真q假时，则有t≥3；
②若p假q真时，则有$2＜t≤\frac{5}{2}$．
综上所述，t的取值范围是$2＜t≤\frac{5}{2}$或t≥3．…（14分）

点评 本题考查了二次函数的性质以及椭圆的定义，考查复合命题的判断，是一道中档题．