Question

19．已知两定点A（-2，0）和B（2，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+4上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 由题意知，要使椭圆C的离心率取最大值，则a取最小值．即|PA|+|PB|取最小值．利用点的对称性求出|PA|+|PB|的最小值即可解答本题．

解答 解：由题意得，
2c=|AB|=4．
∴c=2．
2a=|PA|+|PB|．
当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值．
设点A（-2，0）关于直线l：y=x+4的对称点为A′（x，y）．
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x+2}=-1}\\{\frac{y}{2}=\frac{x-2}{2}+4}\end{array}\right.$．
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=2}\end{array}\right.$．
∴A′（-4，2）．
则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|．
∴2a≥|A′B|=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$．
∴当a=$\sqrt{10}$时，椭圆有最大离心率．
此时，$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的基本性质，动点到定点距离的最值等知识，属于中档题．