Question

6．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+3y≤4}\\{x≥-2}\end{array}\right.$．
（1）求z=|x-3y|的最大值；
（2）求u=x²+y²的最大值与最小值；
（3）求v=$\frac{y}{x-2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先根据约束条件画出可行域，设z=|x-3y|，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x-3y过可行域内的点A时，从而得到z=|x-3y|的最大值即可．
（2）由约束条件作出可行域，由u=x²+y²的几何意义，即原点O（0，0）到直线3x+4y-5=0的距离求得答案．
（3）作出平面区域，将目标函数z=$\frac{y}{x-2}$看成直线斜率的即可．

解答 解：（1）依题意，画出$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+3y≤4\\ x≥-2\end{array}\right.$的可行域（如图示），
则对于目标函数z=x-3y，
当直线经过A（-2，2）时，
z=|x-3y|，取到最大值，Z_max=8．
（2）由约束条件$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+3y≤4\\ x≥-2\end{array}\right.$的作出可行域如图，

由图可知，u=x²+y²的几何意义为可行域内的点与原点O（0，0）的距离的平方，显然最小值为0．
最大值为BO²或AO²，A（-2，2）或B（-2，-2），可得最大值为：2²+2²=8．
（3）解：其平面区域如下图：

目标函数z=$\frac{y}{x-2}$，
可看成过阴影内的点（x，y）与点P（2，0）的直线的斜率k，
∵K_PC≤k≤K_PB，
∴K_PB=$\frac{0+2}{2+2}$=$\frac{1}{2}$，K_PC=$\frac{1-0}{1-2}$=-1．
v∈[$-1，\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．