Question

18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos2A+2$\sqrt{2}$cos（B+C）=-2．
（I）求∠A的大小．
（Ⅱ）若a=2$\sqrt{5}$，△ABC的面积S=6，求b+c．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式，诱导公式化简已知可得2cos²A-2$\sqrt{2}$cosA+1=0，解得cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合A∈（0，π）即可得解A的值．
（Ⅱ）由三角形面积公式可解得bc，由余弦定理可得b²+c²=44，即可解得b+c的值．

解答 解：（I）∵cos2A+2$\sqrt{2}$cos（B+C）=-2．
∴2cos²A-1-2$\sqrt{2}$cosA=-2，整理可得：2cos²A-2$\sqrt{2}$cosA+1=0，
∴解得：cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合A∈（0，π），A=$\frac{π}{4}$．
（Ⅱ）∵由（I）可得sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×bc×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=6，解得：bc=12$\sqrt{2}$．
∵a=2$\sqrt{5}$，由余弦定理可得：20=b²+c²-$\sqrt{2}$bc，
∴解得：b²+c²=44．
∴b+c=$\sqrt{（b+c）^{2}}$=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}+2bc}$=$\sqrt{44+2×12\sqrt{2}}$=2$\sqrt{11+6\sqrt{2}}$．

点评 本题主要考查了倍角公式，诱导公式，三角形面积公式，余弦定理的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基本知识的考查．