Question

11．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$sin2A=\sqrt{3}cos2A$，且角A为锐角．
（1）求三角形内角A的大小；
（2）若a=5，b=8，求c的值．

Answer 1

分析 （1）根据$sin2A=\sqrt{3}cos2A$化简，即可求解A的大小；
（2）a=5，b=8，利用余弦定理即可求解c的值．

解答 解：（1）由题意，$sin2A=\sqrt{3}cos2A$，即tan2A=$\sqrt{3}$．
∴2A=$\frac{π}{3}$或者2A=$\frac{4π}{3}$，
∵角A为锐角，
∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）可知A=$\frac{π}{6}$，a=5，b=8；
由余弦定理，2bccosA=c²+b²-a²，
可得：${c}^{2}-8\sqrt{3}c+39=0$，
解得：c=$4\sqrt{3}+3$或者$4\sqrt{3}-3$．

点评 本题考查了三角函数的化简能力和余弦定理的运用，属于基础题．