Question

20．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，且离心率为$\frac{1}{2}$，点P为椭圆上一动点，△F₁PF₂面积的最大值为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为A₁，过右焦点F₂的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A₁A，A₁B并延长分别交直线x=4于P，Q两点，问$\overrightarrow{P{F_2}}•\overrightarrow{Q{F_2}}$是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率公式可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，设c=t，a=2t，即$b=\sqrt{3}t$，其中t＞0，点P为短轴端点，三角形面积取得最大，求得t=1，进而得到椭圆方程；
（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用韦达定理，求得AA₁，BA₁的方程，令x=4，可得P，Q的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到定值0．

解答 解：（1）已知椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，
不妨设c=t，a=2t，即$b=\sqrt{3}t$，其中t＞0，
又△F₁PF₂面积取最大值$\sqrt{3}$时，
即点P为短轴端点，因此$\frac{1}{2}•2t•\sqrt{3}t=\sqrt{3}$，解得t=1，
则椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}x=ty+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$可得（3+4t²）y²+6ty-9=0，
则${y_1}+{y_2}=\frac{-6t}{{3+4{t^2}}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-9}{{3+4{t^2}}}$，
直线AA₁的方程为$y=\frac{y_1}{{{x_1}-（-2）}}（x-（-2））$，
直线BA₁的方程为$y=\frac{y_2}{{{x_2}-（-2）}}（x-（-2））$，
令x=4，可得$P（4，\frac{{6{y_1}}}{{{x_1}+2}}）$，$Q（4，\frac{{6{y_2}}}{{{x_2}+2}}）$，
则$\overrightarrow{{F_2}P}=（3，\frac{{6{y_1}}}{{{x_1}+2}}）$，$\overrightarrow{{F_2}Q}=（3，\frac{{6{y_2}}}{{{x_2}+2}}）$，
即有$\overrightarrow{{F_2}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}=9+（\frac{{6{y_1}}}{{{x_1}+2}}）（\frac{{6{y_2}}}{{{x_2}+2}}）=\frac{{36{y_1}{y_2}}}{{{t^2}{y_1}{y_2}+3t（{y_1}+{y_2}）+9}}+9=0$，
即$\overrightarrow{P{F_2}}•\overrightarrow{Q{F_2}}$为定值0．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．