Question

5．设定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），且f（1）=0，若x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，则关于x的不等式f（x）≥0的解集为[-1，0]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 由当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，可得g（x）=xf（x）在（0，+∞）上是增函数，结合函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，可得关于x的不等式f（x）≥0的解集．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（-x）=-f（x）
令g（x）=xf（x），
∴g（-x）=g（x）是定义在R上的偶函数，
又∵f（1）=0，
∴f（-1）=-f（1）=0，
∴g（1）=g（-1）=0
又∵当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，
即当x＞0时，g（x）′＞0，
即g（x）在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）是减函数，
∴当x＞0时，f（x）≥0，即g（x）≥g（1），解得：x≥1
∴当x＜0时，f（x）≥0，即g（x）≤g（-1），解得：-1≤x＜0，
∴不等式f（x）≥0的解集为：[-1，0]∪[1，+∞），
故答案为：[-1，0]∪[1，+∞）．

点评 本题考查奇偶性与单调性的综合，难点在于作图，着重考查奇函数的图象与性质，属于中档题．