题目内容
9．下列四个图象中，有一个是函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3+ax2+（a2-9）x+1（a∈R，a≠0）的导函数y=f′（x）的图象，则f（1）=（ ）
| A． | $\frac{13}{3}$ | B． | $\frac{4}{3}$ | C． | -$\frac{5}{3}$ | D． | 1 |
分析 先求出f′（x）=（x+a）2-9，根据开口方向，对称轴，判断哪一个图象是导函数y=f′（x）的图象，再根据图象求出a的值，最后求出f（1）．
解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x3+ax2+（a2-9）x+1，
∴f′（x）=x2+2ax+（a2-9）=（x+a）2-9，
∴开口向上，对称轴x=-a，
∵a∈R，a≠0
∴只有第三个图是导函数y=f′（x）的图象，
∴a2-9=0，x=-a＞0，
∴a=-3，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x3-3x2+1，
∴f（1）=$-\frac{5}{3}$，
故选：C．
点评 本题主要考查求函数的导数，根据导函数求得导函数的图象，属于中档题．
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