Question

已知凼数f（x）=log₃（ax²-x+1），其中a∈R
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围
（2）当a=1时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的性质，若f（x）的定义域为R，则ax²-x+1＞0恒成立，即可求实数a的取值范围
（2）当a=1时，利用复合函数单调性和值域的关系即可求f（x）的值域．

解答： 解：（1）若f（x）的定义域为R，
则ax²-x+1＞0恒成立，
若a=0，则不等式等价为1＞0，满足条件．
若a≠0，则不等式满足

a＞0 △=1-4a＜0

，
即

a＞0 a＞ 1 4

，解得a＞

1

4

，
综上a＞

1

4

或a=0．
（2）当a=1时，f（x）=log₃（x²-x+1），
设t=x²-x+1，则t=（x-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，
∴f（x）=log₃（x²-x+1）≥log₃

3

4

，
故f（x）的值域为[log₃

3

4

，+∞）．

点评：本题主要考查对数函数的性质，利用复合函数单调性和值域的关系以及不等式恒成立是解决本题的关键．