Question

设实数x，y满足x²+2xy-1=0，则x²+y²的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：函数的性质及应用

分析：由x²+2xy-1=0求出y=

1-x2

2x

，代入x²+y²中，利用基本不等式，求出x²+y²的最小值．

解答： 解：∵实数x，y满足x²+2xy-1=0，
∴x≠0，
即2xy=1-x²，
∴y=

1-x2

2x

；
∴x²+y²=x²+

1-2x2+x4

4x2

=

5x2

4

+

1

4x2

-

1

2

≥2

5x2 4 • 1 4x2

-

1

2

=

5 -1

2

，
当且仅当

5x2

4

=

1

4x2

，即x=±

5

5

时“=”成立；
∴x²+y²的最小值是

5 -1

2

．
故答案为：

5 -1

2

．

点评：本题考查了基本不等式的应用问题，解题的关键是由x²+2xy-1=0化简x²+y²，使它能利用基本不等式，是基础题目．