Question

设集合M={（x，y）|x∈R，y∈R}，定义映射f：N^*→M满足：对任意n∈N^*都有f（n）=（x_n，y_n），f（n+1）=（-

1

2

xn+

3

2

a，y_n+

1

4n2-1

），且f（1）=（

3

2

a，1），其中常数a＞0．
（Ⅰ）求y_n的表达式；
（Ⅱ）判断x_n与a的大小．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意得y_n+1-y_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂项法求和即可；
（Ⅱ）由题意得x_n+1-a=-

1

2

（x_n-a），{x_n-a}是首项为

1

2

a，公比为-

1

2

的等比数列，x_n-a=

1

2

a•(-

1

2

)n-1，讨论n即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得
y₁=1，y_n+1=y_n+

1

4n2-1

∴y_n+1-y_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴y_n=y₁+（y₂-y₁）+…+（y_n-y_n-1）=1+

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-3

-

1

2n-1

）=1+

1

2

（1-

1

2n-1

）=

3n-2

2n-1

．
（Ⅱ）由题意得x_n+1=-

1

2

xn+

3

2

a，∴x_n+1-a=-

1

2

（x_n-a），
∵x₁=

3

2

a，∴x₁-a=

1

2

a，
∴{x_n-a}是首项为

1

2

a，公比为-

1

2

的等比数列，
∴x_n-a=

1

2

a•(-

1

2

)n-1，
∵a＞0，∴当为奇数时，x_n-a＞0，x_n＞a，
当n为偶数时，x_n-a＜0，x_n＜a．

点评：本题主要考查数列的递推关系及等比数列的定义性质，考查裂项相消法求数列的和等知识，属于中档题．