Question

已知2013年2月10日春节．某蔬菜基地2013年2月2日有一批黄瓜进入市场销售，通过市场调查，预测黄瓜的价格f（x）（单位：元/kg）与时间x（x表示距2月10日的天数，单位：天，x∈（0，8]）的数据如下

时间x	8	6	2
价格f（x）	8	4	20

（Ⅰ）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f（x）与上市时间x的变化关系：f（x）=ax+b，f（x）=ax²+bx+c，f（x）=a•b^x，f（x）=a•log_bx，其中a≠0；并求出此函数；
（Ⅱ）为了控制黄瓜的价格，不使黄瓜的价格过于偏高，经过市场调研，引入一控制函数h（x）=e^x-（12-2m）x+39（x＞0），m称为控制系数．求证：当m＞ln2-1时，总有f（x）＜h（x）．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（I）根据表中数据，表述黄瓜价格f（x）与上市时间x的变化关系的函数不是单调函数，在a≠0的前提下，可选取二次函数f（x）=ax²+bx+c进行描述．把表格提供的三对数据代入上式解出a，b，c即可；
（II）利用导数研究函数g（x）的单调性极值与最值即可得出．

解答： （Ⅰ）解：根据表中数据，表述黄瓜价格f（x）与上市时间x的变化关系的函数决不是单调函数，这与函数f（x）=ax+b，f（x）=a•b^x，f（x）=a•log_bx均具有单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数f（x）=ax²+bx+c进行描述．      …（1分）
把表格的三对数据代入该解析式得到：

64a+8b+c=8 36a+6b+c=4 4a+2b+c=20

得a=1，b=-12，c=40…（3分）
所以，黄瓜价格f（x）与上市时间x的函数关系是f（x）=x²-12x+40．x∈（0，8]…（4分）
（Ⅱ）证明：设函数g（x）=h（x）-f（x）=e^x-x²+2mx-1，求导，结果见下表．
g'（x）=e^x-2x+2m，继续对g'（x）求导得g''（x）=e^x-2…（6分）
表格如下：…（8分）

	（0，ln2）	Ln2	（ln2，+∞）
gn（x）	-	0	+
g'（x）	减	极小值	增

由上表可知g'（x）≥g'（ln2），而g'（ln2）=e^ln2-2ln2+2m=2-2ln2+2m=2（m-ln2+1），由m＞ln2-1知g'（ln2）＞0，所以g'（x）＞0，即g（x）在区间（0，+∞）上为增函数．       …（10分）
于是有g（x）＞g（0），而g（0）=e⁰-0²+2m×0-1=0，…（11分）
故g（x）＞0，即当m＞ln2-1且x＞0时，e^x＞x²-2mx+1．即h（x）＞f（x）…（12分）

点评：本题考查了选择函数模型解决实际问题、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于难题．