Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率为2，一个焦点坐标为F₂（

2 3

3

，0），直线l：y=ax+1与双曲线交于A、B两点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；
（3）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=

1

2

x对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）c=

2 3

3

，

c

a

=2，可得a=

3

3

，求出b，即可求双曲线的标准方程；
（2）把直线l的方程与双曲线的方程联立消去y，根据判别式大于0求得a的范围，根据OA⊥OB，推断出y₁y₂=-x₁x₂．根据韦达定理表示出x₁x₂．进而根据直线方程表示出y₁y₂，代入y₁y₂=-x₁x₂．求得a．
（2）假设这样的点A，B存在，进而可知直线l的斜率，可得AB的中点，不在直线y=

1

2

x上，即可得出结论．

解答： 解：（1）依题意得c=

2 3

3

，

c

a

=2，∴a=

3

3

          …（1分）
∴b=1                                 …（2分）
∴双曲线的标准方程为

x2

1 3

-y2=1．…（3分）
（2）联立方程ax+1=y与3x²-y²=1，消去y得：（3-a²）x²-2ax-2=0（*）
又直线与双曲线相交于A，B两点，3-a²≠0，∴a≠±

3

，∴△＞0，∴-

6

＜a＜

6

．
又依题OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则y₁y₂=-x₁x₂．
且y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=-x₁x₂⇒x₁x₂（1+a²）+a（x₁+x₂）+1=0，
而由方程（*）知：x₁+x₂=

2a

3-a2

，x₁x₂=

2

a2-3

代入上式解得a=±1且满足．…（10分）
（3）假设这样的点A，B存在，则l：y=ax+1斜率a=-2．                            …（11分）
直线l的方程为y=-2x+1，将a=-2代入③得x₁+x₂=4．
∴AB中点横坐标为2，纵坐标为y=-3，…（12分）
但AB中点（2，-3）不在直线y=

1

2

x上，矛盾            …（13分）
即不存在实数a，使A、B关于直线y=

1

2

x对称．…（14分）

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与双曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力．