题目内容
已知O，A，B三点不共线，且
=m
+n
，（m，n∈R）．
（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；
（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1．
| OP |
| OA |
| OB |
（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；
（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1．
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：利用向量共线定理即可证明．
解答：
证明：（1）∵m+n=1，∴m=1-n，
又
=m
+n
，
∴
=(1-n)
+n
=
+n(
-
)，
化为
=n
，
∴A，P，B三点共线；
（2）∵A，P，B三点共线，∴存在实数n使得
=n
，
∴
-
=n(
-
)，
化为
=(1-n)
+n
，
又
=m
+n
，
∴m=1-n，即m+n=1．
又
| OP |
| OA |
| OB |
∴
| OP |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
化为
| AP |
| AB |
∴A，P，B三点共线；
（2）∵A，P，B三点共线，∴存在实数n使得
| AP |
| AB |
∴
| OP |
| OA |
| OB |
| OA |
化为
| OP |
| OA |
| OB |
又
| OP |
| OA |
| OB |
∴m=1-n，即m+n=1．
点评：本题考查了考查了向量共线定理及其充要条件，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
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