Question

已知两点M（0，2），N（0，-2），且点P到这两点的距离和等于6．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若A，B是动点P的轨迹上的两点，且点M分有向线段AB的比为2，求线段AB所在直线的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线的一般式方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意得，|MN|=4，|PM|+|PN|=6＞4，设P（x，y），则由椭圆的定义可得，P的轨迹为椭圆，根据题意的标准方程即可求得；
（2）可设直线AB：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和向量的坐标公式，解关于x₁，x₂，k的方程，即可得到k，进而得到所求直线方程．

解答： 解：（1）由题意得，|MN|=4，|PM|+|PN|=6＞4，
设P（x，y），则由椭圆的定义可得，P的轨迹为椭圆，
且焦点为M，N，则2a=6，即a=3，又c=2，
则b²=a²-c²=5，
故动点P的轨迹方程为：

y2

9

+

x2

5

=1；
（2）可设直线AB：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+2 x2 5 + y2 9 =1

消去y得，（9+5k²）x²+20kx-25=0，
则x₁+x₂=-

20k

9+5k2

，①x₁x₂=

-25

9+5k2

，②
又

AM

=2

MB

，即有-x₁=2x₂，③
③分别代入①、②，可得

2×400k2

(9+5k2)2

=

25

9+5k2

，
解得，k=±

3

3

．
则直线AB的方程为：y=±

3

3

x+2．

点评：本题考查椭圆的定义、性质和方程，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，及向量的坐标解决问题，考查运算能力，属于中档题．