Question

已知函数f（x）=lnx-ax²，a为常数．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x₁、x₂，试证明：x₁x₂＞e．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点,利用导数研究函数的单调性,不等式的证明

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，函数的导数，通过a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，求出极值点，然后通过导数的符号，判断函数的单调性．
（Ⅱ）设x₁＞x₂，求出a=

lnx1-lnx2

x12-x22

，利用分析法证明x₁x₂＞e，转化为证明：ln

x1

x2

＞

x12-x22

x12+x22

（x₁＞x₂＞0），通过令

x1

x2

=t，则t＞1，构造设g(t)=lnt-

t2-1

t2+1

=lnt+

2

t2+1

-1（t＞1），利用函数的导数求解函数的最小值利用单调性证明即可．

解答： （本小题满分13分） 
解：（Ⅰ）定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，…（2分）
当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；  …（4分）
当a＞0时，由f'（x）=0，得x=

1

2a

=

2a

2a

，
当0＜x＜

2a

2a

时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞

2a

2a

时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．…（6分）
（Ⅱ）证明：设x₁＞x₂，
∵lnx1-ax12=0，lnx2-ax22=0，
∴lnx1+lnx2=ax12+ax22，lnx1-lnx2=ax12-ax22，
则a=

lnx1-lnx2

x12-x22

，
欲证明x₁x₂＞e，即证lnx₁+lnx₂＞1，
因为lnx1+lnx2=a(x12+x22)，
∴即证a＞

1

x12+x22

，
∴原命题等价于证明

lnx1-lnx2

x12-x22

＞

1

x12+x22

，
即证：ln

x1

x2

＞

x12-x22

x12+x22

（x₁＞x₂＞0），
令

x1

x2

=t，则t＞1，
设g(t)=lnt-

t2-1

t2+1

=lnt+

2

t2+1

-1（t＞1），
∴g′(t)=

1

t

-

4t

(t2+1)2

=

(t2-1)2

t(t2+1)2

≥0，
∴g（t）在（1，+∞）单调递增，又因为g（1）=0，
∴g（t）＞g（1）=0，
∴lnt＞

t2-1

t2+1

，所以x₁x₂＞e．…（13分）

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的最小值以及函数的单调性的应用，构造法分析法证明不等式，考查分析问题解决问题的能力．