Question

已知函数f（x）=2^x，g（x）=-x²+2x+b（b∈R），记h（x）=f（x）-

1

f(x)

．
（1）判断h（x）的奇偶性，并证明；
（2）f（x）在x∈[1，2]的上的最大值与g（x）在x∈[1，2]上的最大值相等，求实数b的值；
（3）若2^xh（2x）+mh（x）≥0对于一切x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可；
（2）分别求出函数f（x）和g（x）在x∈[1，2]的上的最大值，建立相等关系即可求实数b的值；
（3）将不等式恒成立进行参数分离，转化为求函数的最值即可．

解答： 解：（1）（Ⅰ）函数h（x）=f（x）-

1

f(x)

=2^x-2^-x为奇函数．
现证明如下：
∵函数h（x）的定义域为R，关于原点对称．
由h（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-h（x），
∴函数h（x）为奇函数．
（Ⅱ）∵f（x）=2^x在区间[1，2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（2）=2²=4，
又∵g（x）=-x²+2x+b=-（x-1）²+b+1，
∴函数y=g（x）的对称轴为x=1，
∴函数y=g（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴g（x）_max=g（1）=1+b，
∵f（x）在x∈[1，2]的上的最大值与g（x）在x∈[1，2]上的最大值相等
∴1+b=4，
∴b=3．
（Ⅲ）当x∈[1，2]时，2^x（2^2x-

1

22x

）+m（2^x-

1

2x

）≥0，
即m（2^2x-1）≥-（2^4x-1），
∵2^2x-1＞0，
∴m≥-（2^2x+1），
令k（x）=-（2^2x+1），x∈[1，2]
下面求函数k（x）的最大值．
∵x∈[1，2]，
∴-（2^2x+1）∈[-17，-5]，
∴k（x）_max=-5，
故m的取值范围是[-5，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，函数最值的求解以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决本题的关键．