Question

5．设数列{a_n}为等差数列，且a₁₁=$\frac{π}{2}$，若f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$，记b_n=f（a_n），则数列{b_n}的前21项和为21．

Answer 1

分析 由f（x）=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$+1，可知f（x）关于$（\frac{π}{2}，1）$中心对称．又数列{a_n}为等差数列，故f（a₁）+f（a₂₁）=2f（a₁₁），且f（a₁₁）=$f（\frac{π}{2}）$=1，再利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：由f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$+1．
可知f（x）关于$（\frac{π}{2}，1）$中心对称，
又数列{a_n}为等差数列，故f（a₁）+f（a₂₁）=2f（a₁₁），且f（a₁₁）=$f（\frac{π}{2}）$=1，
故{b_n}的前21项的和S₂₁=$\frac{21（f（{a}_{1}）+f（{a}_{21}））}{2}$=21f（a₁₁）=21．
故答案为：21．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．