Question

已知函数f（x）=

x

4

+

a

x

-lnx-

3

2

，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=

1

2

x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=

1

2

x可得f′（1）=-2，可求出a的值；
（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

x

4

+

a

x

-lnx-

3

2

，
∴f′（x）=

1

4

-

a

x2

-

1

x

，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=

1

2

x．
∴f′（1）=

1

4

-a-1=-2，
解得：a=

5

4

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=

x

4

+

5

4x

-lnx-

3

2

，
f′（x）=

1

4

-

5

4x2

-

1

x

=

x2-4x-5

4x2

（x＞0），
令f′（x）=0，
解得x=5，或x=-1（舍），
∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，
故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；
单调递减区间为（0，5）；
当x=5时，函数取极小值-ln5．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．