Question

已知点A（0，-2），椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为

2 3

3

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得

2

c

=

2 3

3

，可得c．又

c

a

=

3

2

，b²=a²-c²，即可解得a，b；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．由题意可设直线l的方程为：y=kx-2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S_△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为

2 3

3

，
∴

2

c

=

2 3

3

，解得c=

3

．
又

c

a

=

3

2

，b²=a²-c²，解得a=2，b=1．
∴椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由题意可设直线l的方程为：y=kx-2．
联立

y=kx-2 x2+4y2=4

，
化为（1+4k²）x²-16kx+12=0，当△=16（4k²-3）＞0时，即k2＞

3

4

时，
x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

．
∴|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[( 16k 1+4k2 )2- 48 1+4k2 ]

=

4 1+k2 4k2-3

4k2+1

，
点O到直线l的距离d=

2

1+k2

．
∴S_△OPQ=

1

2

d•|PQ|=

4 4k2-3

4k2+1

，
设

4k2-3

=t＞0，则4k²=t²+3，
∴S△OPQ=

4t

t2+4

=

4

t+ 4 t

≤

4

2 4

=1，当且仅当t=2，即

4k2-3

=2，解得k=±

7

2

时取等号．
满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：y=±

7

2

x-2．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．