Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+

1-a

2

x²-ax-a，x∈R，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（-3，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）-m（t），求函数g（t）在区间[-4，-1]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；
（2）由（1）知函数在区间（-3，-1）内单调递增，在（-1，0）内单调递减，从而函数在（-3，0）内恰有两个零点，由此可求a的取值范围；
（3）a=1时，f（x）=

1

3

x³-x-1，由（1）知，函数在（-4，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论，得到函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）以及最小值m（t），从而可得g（t）在[-4，-1]上的最小值．

解答： 解：（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（x-a），
令f′（x）=0，可得x₁=-1，x₂=a（a＞0）
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞a；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜a
故函数的递增区间为（-∞，-1），（a，+∞），单调递减区间为（-1，a）；
（2）由（1）知函数在区间（-3，-1）内单调递增，在（-1，0）内单调递减，
若函数在（-3，0）内恰有两个零点，
∴

f(-3)＜0  f(-1)＞0 f(0)＜0

，解得0＜a＜

1

3

，
∴a的取值范围为（0，

1

3

）；
（3）a=1时，f（x）=

1

3

x³-x-1，由（1）知，函数在（-4，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增
①当t=-4时，函数在[t，t+3]上单调递增，
则函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（-1）=-

1

3

，最小值为m（t）=f（-4）=-

55

3

，
则g（t）=M（t）-m（t）=18；
②当t∈（-4，-2]时，t+3∈（-1，1]，
∴-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上单调递增，在[-1，t+3]上单调递减
因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（-1）=-

1

3

，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者
由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，
当t∈（-4，-2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），
所以g（t）=f（-1）-f（t）
而f（t）在（-4，-2]上单调递减，因此f（t）≤f（-2）=-

5

3

，所以g（t）在（-4，-2]上的最小值为g（-2）=-

1

3

-(-

5

3

)=

4

3

；
③当t∈[-2，-1]时，t+3∈[1，2]，-1，1∈[t，t+3]，最大值为f（-1）与f（t+3）较大者，最小值为f（1）与f（t）较小者．
由f（x）在[-2，-1]，[1，2]上单调递增，有
f（-2）≤f（t）≤f（-1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）
∵f（1）=f（-2）=-

5

3

，f（-1）=f（2）=-

1

3

，
∴M（t）=f（-1）=-

1

3

，m（t）=f（1）=-

5

3

，
∴g（t）=M（t）-m（t）=

4

3

，
综上，函数g（t）在区间[-4，-1]上的最小值为

4

3

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类讨论是解题的关键．