Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）

（Ⅰ）试讨论函数的导函数的极值；

（Ⅱ）若（为自然对数的底数），恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由导数的求导法则得出，利用导数求极值的步骤得出极值。

（Ⅱ）构造函数令，求导得到，利用导数求最值的方法对的值进行分类讨论，即可得出实数的取值范围。

（Ⅰ）的定义域为.，

当时，，函数在单调递增，函数没有极值.

当时，由，得，函数在上单调递减，在上单调递增.

函数的极小值为，没有极大值.

（Ⅱ）对，恒成立，即对，，

对，.

令，则 .

①当，即时，对，，在上单调递增， ，解得，满足题意.

当时，即，对，，在上单调递减，

，解得满足题意.

③当，即时，对于，；对于，.

在上单调递减，在上单调递增，

.

即

设，由于在单调递减，

，即，

满足题意.

综上①②③可得，.