题目内容
【题目】如图，正三棱柱
中，各棱长均为4，
、
分别是
，
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析 ；（2）
【解析】
(1)根据几何关系得到
，再由线面垂直得到
，进而得到线面垂直；（2）由（1）可知
平面
，
为
与平面所成的角，由三角形性质得到
由等面积法可得
，
即可求解.
（1）证明：因为
且
为
的中点，所以
，又在正三棱柱
中，因为平面
平面
，
平面，且平面平面
，
所以
平面
，因为
平面，所以，
因为，
分别为，
的中点，所以
，又因为
，
，所以
，所以
，
，
所以
，
，所以，又因为平面，
平面，
，所以
平面.
（2）设
，由（1）可知平面，所以
为斜线在平面内的射影，所以为与平面所成的角，由题可知
，
所以
为等腰三角形，作
于
，则为的中点，所以
，由等面积法可知
，在
中，
，所以
，
所以直线与平面所成的角的余弦值为.
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【题目】某工厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量
与尺寸
之间满足关系式
（
为大于0的常数），现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
质量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
（1）求
关于
的回归方程；（提示：
与
有线性相关关系）
（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间
内时为优等品，现从抽取的6件合格产品再任选3件，求恰好取得两件优等品的概率.
参考数据及公式：
，
，
，
对于样本
（
），其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
