题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,直线
(
)与椭圆
交于
,
两点(点
在
轴的上方).
(1)若,求
的面积;
(2)是否存在实数使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在实数
,使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
【解析】
(1)由椭圆方程求得,得
,由直线方程与椭圆方程联立可解得交点坐标,当然这里只要得出
点的纵坐标,即可求得三角形面积;
(2)这类问题,都是假设存在实数使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
,则有
.设
,
,从而有
,把直线方程与椭圆方程联立消元后可得
,代入
,求得
值,说明存在,求不出
值说明假设错误,不存在。
(1)设椭圆的半焦距为,因为
,
,
,所以
,
,
,
联立化简得
,解得
或
,又点
在
轴的上方,所以
,所以
,
所以的面积为
.
(2)假设存在实数使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
,则有
.
设,
,
联立消去
得
,(*)
则,
.
由,所以
,即
,
整理得,
所以,解得
.
经检验时(*)中
,
所以存在实数,使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
.
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