Question

已知函数f（x）=x³+3x（x≥0），对于曲线y=f（x）上横坐标成公差为1的等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；
②△ABC可能是直角三角形；
③△ABC可能为锐角三角形；
④△ABC不可能是等腰三角形，其中所有正确的序号是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①④

Answer 1

考点：函数的图象,等差数列的通项公式

专题：函数的性质及应用

分析：由于函数f（x）=x³+3x（x≥0），对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，由函数的定义及函数单调性进行判断即可得出正确选项，对于①正确，由函数的图象可以得出，角ABC是钝角，②亦可由此判断出；③④可由变化率判断出．

解答： 解：由于函数f（x）=x³+3x（x≥0），
∴f′（x）=3x²+3＞0恒成立，
∴函数f（x）在[0，+∞）为增函数
对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，且横坐标依次增大
由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率．（可以采用向量BA乘以向量BC小于零的解法）
可得出∠ABC一定是钝角故①对，②错．
由于由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出AB＜BC，
故三角形不可能是等腰三角形，
由此得出③不对，④对．
故选：D．

点评：本题考查了数列与函数的综合，求解本题的关键是反函数的性质及其变化规律研究清楚，由函数的图形结合等差数列的性质得出答案．