Question

5．已知关于x的方程|2x³-8x|+mx=4有且仅有2个实数根，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• C． （-2，2）
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 作出y=|2x³-8x|和y=4-mx的函数图象，根据图象交点个数判断直线y=4-mx的斜率的范围，从而得出m的范围．

解答 解：由|2x³-8x|+mx=4得|2x³-8x|=4-mx，
作出y=|2x³-8x|和y=4-mx的函数图象，

当0＜x＜2时，y=|2x³-8x|=-2x³+8x，
若直线y=4-mx经过点（-2，0），则-m=2，即m=-2，
若直线y=4-mx与y=-2x³+8x相切，切点坐标为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=4-m{x}_{0}}\\{{y}_{0}=-2{{x}_{0}}^{3}+8{x}_{0}}\\{-6{{x}_{0}}^{2}+8=-m}\end{array}\right.$，解得x₀=1，y₀=6，m=-2，
由图象的对称性可知，若直线y=4-mx与y=|2x³-8x|的图象有2个交点，
∴-m＞2或-m＜-2，
即m＜-2或m＞2．
故选：A．

点评 本题考查了方程根与函数图象的关系，属于中档题．