Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{4}x+x-2（x＞0）}\\{x-（\frac{1}{4}）^{x}+2（x≤0）}\end{array}\right.$，若f（x）的两个零点分别为x₁、x₂，则|x₁-x₂|=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{3}{2}$+ln2

Answer 1

分析 作出y=log₄x，y=4^x和y=2-x的函数图象，根据函数图象的对称关系即可得出x₂-x₁的值．

解答 解：当x≤0时，令f（x）的零点为x₁，则x₁+2=（$\frac{1}{4}$）${\;}^{{x}_{1}}$，∴4${\;}^{-{x}_{1}}$=-（-x₁）+2，
∴-x₁是方程4^x=2-x的解，
当x＞0时，设f（x）的零点为x₂，则log₄x₂=2-x₂，
∴x₂是方程log₄x=2-x的解．
作出y=log₄x，y=4^x和y=2-x的函数图象，如图所示：

∵y=log₄x和y=4^x关于直线y=x对称，y=2-x关于直线y=x对称，
∴A，B关于点C对称，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=2-x}\end{array}\right.$得C（1，1）．
∴x₂-x₁=2．
故选C．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．