Question

16．设平面向量$\overrightarrow a$=（ m，1），$\overrightarrow b$=（ 2，n ），其中 m，n∈{-2，-1，1，2}．
（I）记“使得$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率；
（II）记“使得$\overrightarrow a$∥（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）成立的（ m，n ）”为事件B，求事件B发生的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出基本事件总数N=4×4=16，由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，得m=-2n，由此利用列举法求出事件A包含的基本事件（m，n）的个数，由此能求出事件A发生的概率P（A）．
（Ⅱ）先求出$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$=（m-4，1-2n），再由$\overrightarrow a$∥（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$），求出mn=2，利用列举法求出事件B包含的基本事件（m，n）的个数，由此能求出事件B发生的概率P（B）．

解答 解：（Ⅰ）∵m，n∈{-2，-1，1，2}，
∴基本事件总数N=4×4=16，
记“使得$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$成立的（ m，n ）”为事件A，
由平面向量$\overrightarrow a$=（ m，1），$\overrightarrow b$=（ 2，n ），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2m+n=0，即m=-2n，
∴事件A包含的基本事件（m，n）有：（-2，1）（2，-1），共2个，
∴事件A发生的概率P（A）=$\frac{2}{16}$=$\frac{1}{8}$．
（Ⅱ）记“使得$\overrightarrow a$∥（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）成立的（ m，n ）”为事件B，
由$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$=（m-4，1-2n），$\overrightarrow a$∥（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$），
得$\frac{m}{m-4}=\frac{1}{1-2n}$，即mn=2，
∴事件B包含的基本事件（m，n）有：（-2，-1），（-1，-2），（1，2），（2，1），共4个，
∴事件B发生的概率P（B）=$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查概率的求法，涉及到平面向量坐标运算法则、向量平行的性质的应用、等可能事件概率计算公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．