Question

1．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x＞0}\\{-2x，x≤0}\end{array}\right.$，若不等式f（x-2）≥f（x）对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为[-$\frac{9}{16}，-\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，利用f（x-2）的图象高于f（x）的图象进行求解即可得到答案．

解答 解：当a≥0时，作出f（x-2）、f（x）的图象如图：

不满足f（x-2）≥f（x）对一切x∈R恒成立；
当a＜0时，作出函数f（x-2）、f（x）的图象如图：

函数f（x-2）恒过定点（2，0），要使不等式f（x-2）≥f（x）对一切x∈R恒成立，则$-\frac{1}{a}≤2$，得a$≤-\frac{1}{2}$；
同时，x＞0时，与直线y=-2x平行的直线与y=ax²+x相切或相离即可，
y=ax²+x的导数y′=2ax+1，由2ax+1=-2，得x=-$\frac{3}{2a}$，代入y=ax²+x，得y=$\frac{3}{4a}$．
∴切点为（$-\frac{3}{2a}，\frac{3}{4a}$），则切线方程为y-$\frac{3}{4a}$=-2（x+$\frac{3}{2a}$），
令y=0，得x=-$\frac{9}{8a}$，
要使f（x-2）的图象高于f（x）的图象，则$-\frac{9}{8a}≥2$，得a$≥-\frac{9}{16}$．
∴实数a的取值范围为[-$\frac{9}{16}，-\frac{1}{2}$]．
故答案为：[-$\frac{9}{16}，-\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查恒成立问题，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题．