Question

17．已知点P（3，-4）是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$渐近线上的一点，E，F是左，右两个焦点，若$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{FP}=0$，则双曲线方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{18}-\frac{y^2}{32}=1$
• B． $\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{18}=1$
• C． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$
• D． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Answer 1

分析 由点在渐近线可得4a=3b，由数量积为0可得c²=25，结合a²+b²=c²=25，解之可得答案．

解答 解：由题意可得点P（3，-4）是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$渐近线上的一点，可得4a=3b，
因为E，F分别是双曲线的左、右焦点，故E（-c，0），F（c，0），$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{FP}=0$，
故c²=25，
又a²+b²=c²=25，结合4a=3b可解得a=3，b=4，
故双曲线的方程为：$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的标准方程，涉及数量积的运算，属中档题．