Question

【题目】已知函数，，.

（1）若，且函数的图象是函数图象的一条切线，求实数的值；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）若对任意实数，函数在上总有零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：

（1）由题意可知的图象直线过点，设切点坐标为，则切线方程是，解方程可得，.

（2）由题意得恒成立，构造函数，二次求导讨论可得在上单调递增， 所以，即.

（3）利用必要条件探路，可知若，在上总有零点的必要条件是，即， 然后证明当时，在上总有零点可得实数的取值范围是.

试题解析：

（1）由知，的图象直线过点，

设切点坐标为，由得切线方程是，

此直线过点，故，解得，

所以.

（2）由题意得恒成立，

令，则，再令，则，

故当时，，单调递减；当时，，单调递增，

从而在上有最小值，

所以在上单调递增，

所以，即.

（3）若，在上单调递增，

故在上总有零点的必要条件是，即，

以下证明当时，在上总有零点.

①若，

由于，，且在上连续，

故在上必有零点；

②若，，

由（2）知在上恒成立，

取，则 ，

由于，，且在上连续，

故在上必有零点，

综上得：实数的取值范围是.