Question

【题目】如图所示，在三棱锥中，平面，，，、分别为线段、上的点，且，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：(Ⅰ)由平面，证得，再由为等腰直角三角形，得到，即可利用线面垂直的判定定理，证得平面．

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，又平面的法向量可取，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值．

试题解析：

(Ⅰ)证明：由平面，平面，故

由，得为等腰直角三角形，故

又，故平面．

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，

过作垂直于，易知又已知，故

以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则

则有，．

设平面的法向量为，则有

，可取；

因为平面，所以平面的法向量可取．

则．

而二面角为锐二面角，故其余弦值为．