Question

11．已知函数$f（x）=cos（\sqrt{3}x+ϕ）$，若y=f（x）+f'（x）是偶函数，则ϕ=-$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用辅助角公式将函数进行化简，利用三角函数的图象和性质即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=cos（$\sqrt{3}$x+ϕ）
∴f′（x）=-$\sqrt{3}$sin（$\sqrt{3}$x+ϕ），
则f（x）+f′（x）=cos（$\sqrt{3}$x+ϕ）-$\sqrt{3}$sin（$\sqrt{3}$x+ϕ）=2cos（$\sqrt{3}$x+ϕ+$\frac{π}{3}$），
若f（x）+f′（x）是偶函数，
则ϕ+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
即ϕ=-$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
故答案为-$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用导数公式，结合辅助角公式是解决本题的关键．