Question

3．设集合S={1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N^*），集合A={a₁，a₂，a₃}满足a₁＜a₂＜a₃且a₃-a₂≤2，A⊆S
（1）若n=6，求满足条件的集合A的个数；
（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．

Answer 1

分析 （1）n=6时，可得出S={1，2，3，4，5，6}，根据条件，可分别求出a₃-a₂=2，a₃-a₂=1时，集合A的个数，再求和即可；
（2）方法和过程同（1）．

解答 解：（1）n=6时，S={1，2，3，4，5，6}；
∵a₃-a₂≤2；
∴a₃-a₂=2，或a₃-a₂=1；
当a₃-a₂=2时，a₂和a₃可分别为2和4，3和5，4和6；
此时对应的a₁分别有1个，2个和3个；
当a₃-a₂=1时，a₂和a₃可分别取2和3，3和4，4和5，5和6；
对应的a₁分别有1个，2个，3个和4个；
∴集合A的个数=1+2+3+1+2+3+4=16个；
（2）当n≥5时，
若a₃-a₂=2，则a₂和a₃可分别为2和4，3和5，…，n-2和n；
此时，对应的a₁可分别为1个，2个，…，n-3个，共有$\frac{（n-3）（n-2）}{2}$个；
同理，a₃-a₂=1时，a₁共有$\frac{（n-2）（n-1）}{2}$个；
∴集合A的个数为：
$\frac{（n-3）（n-2）}{2}+\frac{（n-2）（n-1）}{2}$
=$\frac{2{n}^{2}-8n+8}{2}$
=（n-2）²，n≥5，n∈N^*．

点评 考查列举法表示集合的概念和形式，分类讨论的方法，等差数列的求和公式．