Question

2．函数f（x）=4x³+ax²+bx+5在（-∞，-1）和（$\frac{3}{2}$，+∞）单调递增，在（-1，$\frac{3}{2}$）单调递减．
（1）求函数的解析式；
（2）求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=12x²+2ax+b．根据函数f（x）=4x³+ax²+bx+5在（-∞，-1）和（$\frac{3}{2}$，+∞）单调递增，在（-1，$\frac{3}{2}$）单调递减．可得-1，$\frac{3}{2}$是f′（x）=0的两个实数根．利用根与系数的关系即可得出．
（2）由f′（x）=12x²-6x-18=12（x+1）（x-$\frac{3}{2}$），可知：函数f（x）在[-1，$\frac{3}{2}$）单调递减，函数f（x）在（$\frac{3}{2}$，2）上单调递增．进而得出最值．

解答 解：（1）f′（x）=12x²+2ax+b．
∵函数f（x）=4x³+ax²+bx+5在（-∞，-1）和（$\frac{3}{2}$，+∞）单调递增，在（-1，$\frac{3}{2}$）单调递减．
∴-1，$\frac{3}{2}$是f′（x）=12x²+2ax+b=0的两个实数根．
∴-1+$\frac{3}{2}$=-$\frac{a}{6}$，-1×$\frac{3}{2}$=$\frac{b}{12}$．
解得a=-3，b=-18．
∴f′（x）=12x²-6x-18=12（x+1）（x-$\frac{3}{2}$），满足条件．
∴f（x）=4x³-3x²-12x+5．
（2）由f′（x）=12x²-6x-18=12（x+1）（x-$\frac{3}{2}$），
可知：函数f（x）在[-1，$\frac{3}{2}$）单调递减，函数f（x）在（$\frac{3}{2}$，2）上单调递增．
∴当x=$\frac{3}{2}$时，函数f（x）取得极小值即最小值，$f（\frac{3}{2}）$=-$\frac{25}{4}$．
又f（-1）=10，f（2）=1．
∴x=-1时，函数f（x）取得最大值为10．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．