Question

20．已知M（4，0），N（1，0），曲线C上的任意一点P满足：$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=6|$\overrightarrow{PN}$|
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点N（1，0）的直线与曲线C交于A，B两点，交y轴于H点，设$\overrightarrow{MN}$=λ₁$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{HB}$=λ₂$\overrightarrow{BN}$，试问λ₁+λ₂是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出向量的坐标，利用条件化简，即可求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用$\overrightarrow{MN}$=λ₁$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{HB}$=λ₂$\overrightarrow{BN}$，结合韦达定理，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），则$\overrightarrow{MN}$=（-3，0），$\overrightarrow{MP}$=（x-4，y），$\overrightarrow{PN}$=（1-x，-y）．
∵$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=6|$\overrightarrow{PN}$|，∴-3×（x-4）+0×y=6$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
化简得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1为所求点P的轨迹方程.4分
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1（m≠0），则H（0，-$\frac{1}{m}$）．
从而$\overrightarrow{HA}$=（x₁，y₁+$\frac{1}{m}$），$\overrightarrow{AN}$=（1-x₁，-y₁），由$\overrightarrow{HA}$=λ₁$\overrightarrow{AN}$得（x₁，y₁+$\frac{1}{m}$）=λ₁（1-x₁，-y₁），
∴-λ₁=1+$\frac{1}{m{y}_{1}}$
同理由得-λ₂=1+$\frac{1}{m{y}_{2}}$，
∴-（λ₁+λ₂）=2+$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$
由直线与椭圆方程联立，可得（4+3m²）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$
代入得∴（λ₁+λ₂）=2+$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{8}{3}$，
∴λ₁+λ₂=-$\frac{8}{3}$
②当直线l与x轴重合时，A（-2，0），B（2，0），H（0，0），λ₁=-$\frac{2}{3}$．λ₂=-2，
∴λ₁+λ₂=-$\frac{8}{3}$11分
综上，λ₁+λ₂为定值-$\frac{8}{3}$.12分．

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．