题目内容

已知F1，F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点，弦AB经过F2点，若A点在x轴的下方，且|AF2|=2|F2B|，
AF1
•
BF1
=
16
9
a2，则∠F1AB=（　　）
A、
5π
12
B、
π
2
C、
2π
3
D、
4π
3
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：利用向量的数量积，余弦定理可解出t，再根据勾股定理即可求出∠F1AB．
解答： 解：设BF2=t，AF2=2t，
有AF1=2a-2t，BF1=2a-t，
∵
AF1
•
BF1
=（2a-t）（2a-2t）cos∠BF1A=
16
9
a2 ①
而cos∠BF1A=
BF
2
1
+
AF
2
1
-AB2
2BF1•AF1
=
(2a-t)2+(2a-2t)2-9t2
2(2a-t)(2a-2t)
②，
由①②得t=
1
3
a或t=-
10
3
a(舍)，
∴AB=3t=a=
3
3
a，AF1=
4
3
a，BF1=
5
3
a，
可知AB2+A
F
2
1
=B
F
2
1
，
得∠F1AB=
π
2
．
故选：B
点评：本题考查了向量的数量积运算以及椭圆的简单性质，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，Ox为极轴，则圆ρ=3cosθ被直线
x=2+2t
y=1+4t
（t是参数）截得的弦长为
 
．
若x∈[0，π]，则函数y=sinxcosx的单调递减区间是
 
．
已知z（1+i）=-3+4i（i为虚数单位），复数Z的共轭复数为（　　）
A、
1
2
+
7
2
i
B、-
7
2
+
7
2
i
C、
1
2
-
7
2
i
D、-
7
2
-
7
2
i
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，-b），若|
BA
+
BF
|=|
BA
-
BF
|，则椭圆的离心率值为（　　）
A、
5
-1
2
B、
3
+1
2
C、
3
-1
2
D、
5
+1
2
某程序框图如图所示，当输出y值为-6时，则输出x的值为（　　）
A、64B、32C、16D、8
已知f（x）是定义在R上的函数，命题p：f（x）满足?x∈R，f（-x）=-f（x），命题q：f（0）=0，则命题p是命题q的（　　）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分又不必要条件
已知函数f（x）=sin（ωx+
π
6
）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为4π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，应将f（x）的图象（　　）
A、向左平移
π
3
个单位长度
B、向右平移
π
3
个单位长度
C、向左平移
2π
3
个单位长度
D、向右平移
2π
3
个单位长度
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的任意一点P（x0，y0）（左、右顶点A，B除外）与两焦点F1（-2，0），F2（2，0）围成的三角形的周长恒为12．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点Q（x，y）到点F2与到K（8，0）距离之比为
1
2
，求点Q的轨迹E的方程；
（3）设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，且4k1=3k2，证明：A，P，Q三点共线．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网