Question

已知y²=4a（x-a），（a＞0），则u=（x-3）²+y²的最小值为

 

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Answer 1

考点：基本不等式

专题：函数的性质及应用

分析：把y²=4a（x-a），（a＞0，x≥a），代入u=（x-3）²+y²=[x-（3-2a）]²+12a-8a²，其对称轴为x=3-2a，通过对a于3-2a的大小讨论，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵y²=4a（x-a），（a＞0，x≥a），
∴u=（x-3）²+y²
=x²-6x+9+4ax-4a²
=[x-（3-2a）]²+12a-8a²，
其对称轴为x=3-2a，顶点坐标为（3-2a，12a-8a²）．
若3-2a≥a＞0，即0＜a≤1时，有x=3-2a时，u取得最小值12a-8a²．
若3-2a＜a，即a＞1时，u在x∈[a，+∞）单调递增，∴当x=a时，u取得最小值a²-6a+9．
综上可得：u_min=

12a-8a2，当0＜a≤1时 a2-6a+9，当a＞1时

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故答案为：u_min=

12a-8a2，当0＜a≤1时 a2-6a+9，当a＞1时

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点评：本题考查了二次函数的单调性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力，属于难题．