Question

已知F₁，F₂是两个定点，点P是以F₁和F₂为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF₁⊥F₂，e₁和e₂分别是上述椭圆和双曲线的离心力，则有（　　）

• A、

  1

  e12

  +

  1

  e22

  =4
• B、

  1

  e12

  +

  1

  e22

  =2
• C、e₁²+e₂²=4
• D、e₁²+e₂²=2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，并表示出e₁和e₂，根据椭圆和双曲线的定义、勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论．

解答： 解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，
则e₁=

c

a

，e₂=

c

m

，
不妨令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义得，|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由椭圆的定义得，|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又∠F₁PF₂=90⁰，故|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①²+②²得，|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m² ④
将④代入③得，a²+m²=2c²，
即

a2

c2

+

m2

c2

=2，即

1

e12

+

1

e22

=2，
故选：B．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，椭圆与双曲线的定义、离心率，勾弦定理等，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程来．