题目内容
定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2017x+log2017x，则在R上f（x）零点的个数为 ．
考点：函数零点的判定定理
专题：函数的性质及应用
分析：x＞0时，求f′（x），并容易判断出f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是单调函数．然后判断有没有x1，x2使得f（x1）f（x2）＜0：分别取x=2017-2017，1，便可判断f（2017-2017）＜0，f（1）＞0，从而得到f（x）在（0，+∞）上有一个零点，根据奇函数的对称性便得到f（x）在（-∞，0）上有一个零点，而因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，这样便得到在R上f（x）零点个数为3．
解答：
解：x＞0时，f′（x）=2017xln2017+
＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
取x=2017-2017，则f（2017-2017）=2017
-2017；
＜1，∴2017
＜2017；
∴f（2017-2017）＜0，又f（1）=2017＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上有一个零点，根据奇函数关于原点对称，f（x）在（-∞，0）也有一个零点；
又f（0）=0；
∴函数f（x）在R上有3个零点．
故答案为：3．
| 1 |
| xln2017 |
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
取x=2017-2017，则f（2017-2017）=2017
| 1 |
| 2017 |
| 1 |
| 2017 |
| 1 |
| 2017 |
∴f（2017-2017）＜0，又f（1）=2017＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上有一个零点，根据奇函数关于原点对称，f（x）在（-∞，0）也有一个零点；
又f（0）=0；
∴函数f（x）在R上有3个零点．
故答案为：3．
点评：考查奇函数的概念，函数导数符号和函数单调性的关系，函数零点的概念，以及判断函数在一区间上有没有零点，以及有几个零点的方法，奇函数图象关于原点的对称性．
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