Question

已知函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值为M，最小值为N
（1）若M+N=6，求实数a的值；
（2）若M=2N，求实数a的值．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：按a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论：借助f（x）的单调性及最大值先求出a值，再求出其最小值即可．

解答： 解：①当a＞1时，f（x）在[1，2]上单调递增，
则f（x）的最大值为M=f（2）=a²，
最小值N=f（1）=a；
②当0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上单调递减，
则f（x）的最大值为M=f（1）=a，
此时最小值N=f（2）=a²，
（1）∵M+N=6，
∴a²+a=6，
解得a=2，或a=-3（舍去）
（2）∵M=2N
当a＞1时，a²=2a，解得a=2，或a=0（舍去），
当0＜a＜1时，2a²=a，解得a=

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，或a=0（舍去），
综上所述a=2或a=

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2

点评：本题考查指数函数的单调性及其应用，考查分类讨论思想，对指数函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1），当a＞1时f（x）递增；当0＜a＜1时f（x）递减．