Question

【题目】已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A1．求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定点（1，0）．

【解析】

本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，椭圆的几何性质，以直线与椭圆的位置关系的综合运用．

（1）因为因为椭圆的一个焦点是（1，0），所以半焦距.

因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.，得到a,c关系，进而解得方程．

（2）设直线x=my+4与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后我们借助于根与系数的关系，来表示定点T的坐标，进而得到结论．

解：（Ⅰ）因为椭圆的一个焦点是（1，0），所以半焦距.

因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.

所以，解得所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）设直线：与联立并消去得：

.

记，，，.

由A关于轴的对称点为，得，根据题设条件设定点为（，0），

得，即.

所以

即定点（1 ， 0）