Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）+

1

x

在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求导，利用导数来求出函数的极值，
（Ⅱ）先求导，再分a≥0，a＜0进行讨论，利用导数求出函数的单调区间，函数g（x）=
（Ⅲ）由题意得到g（x）=

1

2

x²+alnx+

1

x

，求导得到g′（x）=x+

a

x

-

1

x2

，函数g（x）=f（x）+

1

x

在[1，+∞）上是增函数，转化为a≥

1

x

-x²在[1，+∞）上恒成立，再设设h（x）=

1

x

-x²，利用导数求出函数的最大值，得到a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=

1

2

x²-lnx，x＞0，
∴f′（x）=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

令f′（x）=0，解得x=1，
当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，
故当x=1时，函数有极小值，极小值为f（1）=

1

2

；
（Ⅱ）∵f′（x）=x+

a

x

=

x2+a

x

，
当a≥0时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），
当a＜0时，
令f′（x）=

x2+a

x

=0，解得x=

-a

，
当x＞

-a

时，f′（x）＞0，函数单调递增，
当0＜x＜

-a

时，f′（x）＜0，函数单调递减，
综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），
当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为（

-a

，+∞），单调减区间为（0，

-a

），
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）+

1

x

，
∴g（x）=f（x）+

1

x

，
∴g（x）=

1

2

x²+alnx+

1

x

，
∴g′（x）=x+

a

x

-

1

x2

，
∵函数g（x）=f（x）+

1

x

在[1，+∞）上是增函数，
∴则g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式x+

a

x

-

1

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，
也即a≥

1

x

-x²在[1，+∞）上恒成立，
设h（x）=

1

x

-x²，
∴h′（x）=-2x-

1

x

＜0，
∴h（x）在[1，+∞）为减函数，
∴h（x）_max=h（1）=0．
∴所以a≥0．
故a的取值范围为[0，+∞）．

点评：本题考查了导数与函数的单调性，极值，最值的关系，以及求参数的取值范围的问题，考查了分类讨论的思想，转化思想，属于中档题．