Question

设函数f(x)＝x²－mlnx，g(x)＝x²－x＋a.

(1)  当a＝0时，f(x)≥g(x)在(1，＋∞),上恒成立，求实数m的取值范围；

(2)  当m＝2时，若函数h(x)=f(x)－g(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：(1)由a＝0，f(x)≥g(x)可得－mln x≥－x

x∈(1,＋∞)，即m≤，记φ(x)＝，

则f(x)≥g(x)在(1，＋∞)上恒成立等价于m ≤φ(x)_min.

求得φ′(x)＝

当x∈(1,e)时, φ′(x)<0; 

当x∈(e,＋∞)时, φ′(x)>0.

故φ(x)在x＝e处取得极小值，也是最小值，即φ(x)min＝φ(e)＝e，故m≤e.

所以，实数m的取值范围为;(- ¥,e]

(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点

等价于方程x－2ln x＝a,在[1,3]上恰有两个相异实根．

令k(x)＝x－2ln x，则k′(x)＝1－.

当x∈[1,2)时，k′(x)<0；

当x∈(2,3]时，k′(x)>0，

∴k(x)在[1,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增

函数．故k(x)min＝k(2)＝2－2ln 2，

又k(1)＝1，k(3)＝3－2ln 3，

∵k(1)>k(3)，∴只需k(2)<a≤k(3)，

故a的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3]．