Question

若函数f（x）=

x

x2+a

在（0，3）上单调递增，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：若f（x）=

x

x2+a

在（0，3）上单调递增，则f′（x）=

-x2+a

(x2+a)2

≥0在（0，3）上恒成立，则-x²+a≥0在（0，3）上恒成立，则a≥x²在（0，3）上恒成立，进而得到实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=

x

x2+a

在（0，3）上单调递增，
∴f′（x）=

-x2+a

(x2+a)2

≥0在（0，3）上恒成立，
∴-x²+a≥0在（0，3）上恒成立，
∴a≥x²在（0，3）上恒成立，
∴a≥9，
∴实数a的取值范围为[9，+∞），
故答案为：[9，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中将函数的单调性转化为恒成立问题，进而转化为最值问题是解答的关键．