题目内容
甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为
，
，
，他们海选合格与不合格是相互独立的．
（Ⅰ）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；
（Ⅱ）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；
（Ⅱ）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）记“甲海选合格”为事件A，“乙海选合格”为事件B，“丙海选合格”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E．利用对立事件的计算公式能求出结果．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3．分别求出相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3．分别求出相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
解答：
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记“甲海选合格”为事件A，“乙海选合格”为事件B，
“丙海选合格”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E．
则P(E)=1-P(
)=1-
×
×
=
．（4分）
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3．
P(ξ=0)=P(
)=
，
P(ξ=1)=P(A
)+P(
B
)+P(
C)=
，
P(ξ=2)=P(AB
)+P(A
C)+P(
BC)=
，
P(ξ=3)=P(ABC)=
．
∴ξ的分布列为
Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
． （12分）
解：（Ⅰ）记“甲海选合格”为事件A，“乙海选合格”为事件B，
“丙海选合格”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E．
则P(E)=1-P(
. |
| A |
. |
| B |
. |
| C |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 23 |
| 24 |
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3．
P(ξ=0)=P(
. |
| A |
. |
| B |
. |
| C |
| 1 |
| 24 |
P(ξ=1)=P(A
. |
| B |
. |
| C |
. |
| A |
. |
| C |
. |
| A |
. |
| B |
| 6 |
| 24 |
P(ξ=2)=P(AB
. |
| C |
. |
| B |
. |
| A |
| 11 |
| 24 |
P(ξ=3)=P(ABC)=
| 6 |
| 24 |
∴ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 24 |
| 6 |
| 24 |
| 11 |
| 24 |
| 6 |
| 24 |
| 23 |
| 12 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．
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