Question

已知数列{a_n}前n项和A_n=-

1

2

n²+kn（其中k∈N₊），且A_n的最大值为8；数列{b_n}的前n项和B_n=

n+2

3

b_n，且b₁=1．
（1）确定常数k，并求a_n；
（2）求数列{

bn

(9-2an)4n

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）当n=k时A_n取得最大值为

1

2

k2=8，解得k=4；当n≥2时，a_n=A_n-A_n-1，即可求a_n；
（2）利用错位相减法求和．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}前n项和A_n=-

1

2

n²+kn（其中k∈N₊），且A_n的最大值为8，
又k∈N^*，所以当n=k时A_n取得最大值为

1

2

k2=8，解得k=4，
当n≥2时，a_n=A_n-A_n-1=（-

1

2

n²+4n）-[-

1

2

（n-1）²+4（n-1）]=-n+

9

2

，
当n=1时，a₁=

7

2

，适合上式，
综上，a_n=-n+

9

2

；
（2）b₁=1．
n＞1时，b_n=B_n-B_n-1=

n+2

3

b_n-

n+1

3

b_n，即b_n=

n+1

n-1

b_n-1，
利用叠乘法可得b_n=

n(n+1)

2

，
∴

bn

(9-2an)4n

=

n+1

4n+1

，
∴S_n=

2

42

+

3

43

+…+

n+1

4n+1

，
∴4S_n=

2

4

+

3

42

+…+

n+1

4n

，
两式相减，整理可得S_n=

7

36

-

3n+7

36

•

1

4n

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．