Question

函数y=tan

π

4

-sin

5π

4

sin（

7π

4

+2x），x∈R．
（1）求函数的最大、最小值；
（2）求函数的最小正周期；
（3）求函数的单调区间；
（4）函数的图象可由函数y=

2

2

cos（2x-

π

2

），x∈R的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先对函数的关系式进行恒等变换变换成正弦型函数，然后确定函数的最值．
（2）利用关系式进一步求出函数的最小正周期．
（3）利用整体思想确定单调区间．
（4）首先对关系式进行变换，进一步利用平移变换求得结果．

解答： 解：（1）函数y=tan

π

4

-sin

5π

4

sin（

7π

4

+2x）=-

2

2

sin(2x+

3π

4

)+1，
所以函数的最大值为：ymax=

2

2

+1，
函数的最小值为：ymin=-

2

2

+1
（2）由于y=-

2

2

sin(2x+

3π

4

)+1
所以函数的最小正周期为：T=

2π

2

=π
（3）令：-

π

2

+2kπ≤2x+

3π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：-

5π

8

+kπ≤x≤-

π

8

+kπ
所以函数的单调递增区间为：[-

5π

8

+kπ，-

π

8

+kπ]（k∈Z）
令：

π

2

+2kπ≤2x+

3π

4

≤

3π

2

+2kπ
解得：-

π

8

+kπ≤x≤-

3π

8

+kπ
所以函数的单调递减区间为：[-

π

8

+kπ，-

3π

8

+kπ]（k∈Z）
（4）函数y=

2

2

cos（2x-

π

2

）=

2

2

sin2x向左平移

3π

8

个单位再把函数的图象沿x轴旋转180°得到函数y=-

2

2

sin(2x+

3π

4

)的图象，再把函数图象向上平移1各单位得到结果．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的周期，最值，单调区间的确定，函数图象的变换问题．属于基础题型．