Question

4．已知△ABC是半径为2的圆的内接三角形，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若b²+c²=18，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理、和差公式、诱导公式即可得出．
（II）利用余弦定理、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理得：a=4sinA，b=4sinB，c=4sinC，
∵2acosA=ccosB+bcosC，
∴2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC，
∴2sinA•cosA=sin（B+C），
∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinA•cosA=sinA，
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，
∴2cosA=1，即cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）由（I）可得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由（Ⅰ）得$a=4sinA=2\sqrt{3}$．
∵a²=b²+c²-2bcosA，∴bc=b²+c²-a²=18-12=6，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×6×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．